التفاضل
المشتقة وتطبيقاتها
الملخص السريع
يتناول هذا الدرس مفهوم الاشتقاق، قواعده الأساسية، وكيفية حساب مشتقات الدوال المختلفة مع أمثلة تطبيقية.
### الدرس الأول: الاشتقاق وقواعده
#### تمهيد
الاشتقاق هو أحد المفاهيم الأساسية في التفاضل والتكامل، وهو يمثل معدل تغير دالة بالنسبة لمتغيرها المستقل. من الناحية الهندسية، تعبر المشتقة عند نقطة معينة عن ميل المماس لمنحنى الدالة عند تلك النقطة. من الناحية الفيزيائية، تمثل المشتقة الأولى للمسافة بالنسبة للزمن السرعة، والمشتقة الثانية تمثل التعجيل. إن فهم الاشتقاق وقواعده يعد حجر الزاوية لحل العديد من المسائل في العلوم والهندسة والاقتصاد، ولقد وضع العالم إسحاق نيوتن وغوتفريد لايبنتز الأسس الأولى لحساب التفاضل بشكل مستقل، مما أحدث ثورة في الرياضيات.
#### تعاريف وقوانين دقيقة
**1. تعريف المشتقة:**
تُعرّف المشتقة للدالة \(f(x)\) عند النقطة \(x_0\) بواسطة النهاية:
\(f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}\)
إذا كانت هذه النهاية موجودة، فإن الدالة قابلة للاشتقاق عند \(x_0\).
**2. قواعد الاشتقاق الأساسية:**
أ. **مشتقة الثابت:** إذا كانت \(f(x) = c\) (حيث \(c\) ثابت)، فإن \(f'(x) = 0\).
ب. **مشتقة دالة القوة:** إذا كانت \(f(x) = x^n\) (حيث \(n\) عدد حقيقي)، فإن \(f'(x) = nx^{n-1}\).
ج. **مشتقة الثابت مضروباً في دالة:** إذا كانت \(f(x) = c \cdot g(x)\)، فإن \(f'(x) = c \cdot g'(x)\).
د. **مشتقة مجموع أو فرق دالتين:** إذا كانت \(f(x) = g(x) \pm h(x)\)، فإن \(f'(x) = g'(x) \pm h'(x)\).
هـ. **مشتقة حاصل ضرب دالتين (قاعدة الضرب):** إذا كانت \(f(x) = g(x) \cdot h(x)\)، فإن \(f'(x) = g'(x) \cdot h(x) + g(x) \cdot h'(x)\).
و. **مشتقة حاصل قسمة دالتين (قاعدة القسمة):** إذا كانت \(f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}\) (حيث \(h(x) \ne 0\))، فإن \(f'(x) = \frac{g'(x) \cdot h(x) - g(x) \cdot h'(x)}{[h(x)]^2}\).
ز. **مشتقة الدالة المركبة (قاعدة السلسلة):** إذا كانت \(y = f(u)\) و \(u = g(x)\)، فإن \(\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}\).
**3. مشتقات الدوال المثلثية الأساسية:**
أ. \(\frac{d}{dx} (\sin x) = \cos x\)
ب. \(\frac{d}{dx} (\cos x) = -\sin x\)
ج. \(\frac{d}{dx} (\tan x) = \sec^2 x\)
#### مثال محلول
**المثال:** أوجد مشتقة الدالة \(f(x) = (3x^2 + 5)(2x - 1)\).
**الحل:**
نطبق قاعدة الضرب، حيث \(g(x) = 3x^2 + 5\) و \(h(x) = 2x - 1\).
الخطوة 1: نجد مشتقة الدالة الأولى \(g'(x)\).
\(g'(x) = \frac{d}{dx}(3x^2 + 5) = 3 \cdot (2x^{2-1}) + 0 = 6x\).
الخطوة 2: نجد مشتقة الدالة الثانية \(h'(x)\).
\(h'(x) = \frac{d}{dx}(2x - 1) = 2 \cdot (1x^{1-1}) - 0 = 2\).
الخطوة 3: نطبق قاعدة الضرب \(f'(x) = g'(x) \cdot h(x) + g(x) \cdot h'(x)\).
\(f'(x) = (6x)(2x - 1) + (3x^2 + 5)(2)\).
الخطوة 4: نبسط التعبير الناتج.
\(f'(x) = (12x^2 - 6x) + (6x^2 + 10)\).
\(f'(x) = 12x^2 + 6x^2 - 6x + 10\).
\(f'(x) = 18x^2 - 6x + 10\).
#### أخطاء شائعة
1. **عدم تطبيق قاعدة السلسلة:** عند اشتقاق دالة مركبة مثل \(\sin(2x)\)، ينسى الكثيرون ضرب المشتقة في مشتقة الدالة الداخلية. فمثلاً \(\frac{d}{dx}(\sin(2x)) = \cos(2x) \cdot 2\) وليس فقط \(\cos(2x)\).
2. **الخلط بين قواعد الضرب والقسمة:** تطبيق قاعدة الضرب بدلاً من القسمة أو العكس، أو نسيان تربيع المقام في قاعدة القسمة.
3. **أخطاء في الإشارات:** خاصة عند اشتقاق دوال مثل \(\cos x\) حيث تكون المشتقة سالبة، أو عند تطبيق قاعدة القسمة حيث يوجد طرح في البسط.
#### تمرين بيتي
أوجد مشتقة الدالة \(y = \frac{4x - 3}{x^2 + 1}\).
**الحل:**
نطبق قاعدة القسمة: \(y' = \frac{g'(x) \cdot h(x) - g(x) \cdot h'(x)}{[h(x)]^2}\)
حيث \(g(x) = 4x - 3 \implies g'(x) = 4\)
و \(h(x) = x^2 + 1 \implies h'(x) = 2x\)
\(y' = \frac{4(x^2 + 1) - (4x - 3)(2x)}{(x^2 + 1)^2}\)
\(y' = \frac{4x^2 + 4 - (8x^2 - 6x)}{(x^2 + 1)^2}\)
\(y' = \frac{4x^2 + 4 - 8x^2 + 6x}{(x^2 + 1)^2}\)
\(y' = \frac{-4x^2 + 6x + 4}{(x^2 + 1)^2}\)