المثلثات
النسب المثلثية
الملخص السريع
تتناول هذه الوحدة النسب المثلثية للدوال الدائرية، بما في ذلك تعريفاتها، قوانينها الأساسية، وتطبيقاتها في حل المعادلات والمشكلات الهندسية.
النسب المثلثية هي علاقات أساسية بين زوايا وأضلاع المثلث القائم الزاوية، وهي تشكل أساسًا لدراسة الدوال الدائرية في المستوي الإحداثي. تُعد هذه النسب حجر الزاوية في العديد من الفروع الهندسية والفيزيائية وتطبيقاتها التقنية. تاريخيًا، تطورت دراسة النسب المثلثية لتلبية احتياجات علم الفلك والملاحة، وهي اليوم جزء لا يتجزأ من المناهج الرياضية المتقدمة.
**تعريفات وقوانين دقيقة:**
للمثلث القائم الزاوية ABC (القائم في B)، والزاوية الحادة θ عند الرأس A:
1. **جيب الزاوية (Sine):** sin(θ) = طول الضلع المقابل للزاوية / طول الوتر
2. **جيب تمام الزاوية (Cosine):** cos(θ) = طول الضلع المجاور للزاوية / طول الوتر
3. **ظل الزاوية (Tangent):** tan(θ) = طول الضلع المقابل للزاوية / طول الضلع المجاور للزاوية = sin(θ) / cos(θ)
**مقلوبات النسب المثلثية:**
4. **قاطع التمام (Cosecant):** csc(θ) = 1 / sin(θ)
5. **قاطع الزاوية (Secant):** sec(θ) = 1 / cos(θ)
6. **ظل التمام (Cotangent):** cot(θ) = 1 / tan(θ) = cos(θ) / sin(θ)
**المتطابقات الأساسية:**
* sin²(θ) + cos²(θ) = 1 (المتطابقة الذهبية)
* 1 + tan²(θ) = sec²(θ)
* 1 + cot²(θ) = csc²(θ)
**الزوايا الخاصة (بالدرجات والراديان):**
| θ | 0° (0) | 30° (π/6) | 45° (π/4) | 60° (π/3) | 90° (π/2) |
|--------|--------|-----------|-----------|-----------|-----------|
| sin(θ) | 0 | 1/2 | √2/2 | √3/2 | 1 |
| cos(θ) | 1 | √3/2 | √2/2 | 1/2 | 0 |
| tan(θ) | 0 | 1/√3 | 1 | √3 | غير معرف |
**إشارة النسب المثلثية في الأرباع:**
| الربع | الأول (0-90°) | الثاني (90-180°) | الثالث (180-270°) | الرابع (270-360°) |
|--------|---------------|-------------------|--------------------|--------------------|
| sin(θ) | + | + | - | - |
| cos(θ) | + | - | - | + |
| tan(θ) | + | - | + | - |
**مثال محلول:**
إذا كان tan(θ) = 3/4 وكانت θ في الربع الثالث، أوجد sin(θ) و cos(θ).
**الحل:**
بما أن tan(θ) = 3/4، نعلم أن tan(θ) = المقابل / المجاور. يمكننا اعتبار المقابل = 3k والمجاور = 4k لبعض k > 0. في الربع الثالث، كل من sin(θ) و cos(θ) سالبان، ولكن tan(θ) موجب.
نستخدم المتطابقة 1 + tan²(θ) = sec²(θ).
1 + (3/4)² = sec²(θ)
1 + 9/16 = sec²(θ)
25/16 = sec²(θ)
sec(θ) = ±√(25/16) = ±5/4
بما أن θ في الربع الثالث، cos(θ) سالب، وبالتالي sec(θ) سالب. إذن، sec(θ) = -5/4.
بما أن sec(θ) = 1/cos(θ)، فإن cos(θ) = 1/sec(θ) = 1/(-5/4) = -4/5.
الآن نجد sin(θ) باستخدام tan(θ) = sin(θ) / cos(θ):
sin(θ) = tan(θ) * cos(θ)
sin(θ) = (3/4) * (-4/5)
sin(θ) = -3/5.
إذن، sin(θ) = -3/5 و cos(θ) = -4/5.
**أخطاء شائعة:**
1. **عدم الانتباه لإشارة النسب المثلثية:** تحديد الربع الذي تقع فيه الزاوية ضروري لتحديد إشارة كل من sin، cos، tan. إهمال هذه الخطوة يؤدي إلى نتائج خاطئة.
2. **الخلط بين الدوال ومقلوباتها:** على سبيل المثال، الخلط بين cos(θ) و sec(θ) أو sin(θ) و csc(θ).
3. **الخلط بين المتطابقات:** استخدام المتطابقات بشكل غير صحيح، مثل كتابة sin²(θ) - cos²(θ) = 1 بدلاً من sin²(θ) + cos²(θ) = 1.
4. **عدم توحيد الوحدات:** استخدام الدرجات والراديان في نفس المسألة دون تحويل صحيح، خاصة عند استخدام الآلة الحاسبة.
**تمرين بيتي:**
إذا كانت cos(x) = -12/13 وكانت x في الربع الثاني، أوجد قيمة csc(x) و tan(x).
**الحل:**
بما أن cos(x) = -12/13، نستخدم المتطابقة sin²(x) + cos²(x) = 1.
sin²(x) + (-12/13)² = 1
sin²(x) + 144/169 = 1
sin²(x) = 1 - 144/169 = (169 - 144)/169 = 25/169
sin(x) = ±√(25/169) = ±5/13
بما أن x في الربع الثاني، sin(x) موجب. إذن sin(x) = 5/13.
الآن نجد csc(x):
csc(x) = 1/sin(x) = 1/(5/13) = 13/5.
ونجد tan(x):
tan(x) = sin(x) / cos(x) = (5/13) / (-12/13) = -5/12.
إذن، csc(x) = 13/5 و tan(x) = -5/12.