الفصل الثاني
أسئلة متوقعة ونماذج امتحانية — الرياضيات / السادس الأدبي
الملخص السريع
تتناول هذه الوحدة استعراضاً شاملاً لأهم المفاهيم والقوانين في منهج الرياضيات للصف السادس الأدبي، مع التركيز على استراتيجيات حل الأسئلة الامتحانية المتوقعة.
### أسئلة متوقعة ونماذج امتحانية — الرياضيات / السادس الأدبي
**تمهيد:**
تعتبر مادة الرياضيات للصف السادس الأدبي حجر الزاوية في بناء الفهم الكمي والمنطقي للطلاب، وهي مادة تراكمية تتطلب إتقان المفاهيم الأساسية وتطبيق القوانين بدقة. يهدف هذا الدرس إلى مراجعة شاملة لأبرز الأقسام التي غالباً ما ترد في الامتحانات الوزارية، مع التركيز على طرق التفكير السليمة في حل المسائل وكيفية تجنب الأخطاء الشائعة. سنركز على مراجعة مفاهيم هامة مثل مبادئ العد، التباديل والتوافيق، نظرية ذات الحدين، الغاية والاستمرارية، قواعد الاشتقاق وتطبيقاته، والتكامل المحدد وغير المحدد.
**تعاريف وقوانين دقيقة:**
1. **مبادئ العد:**
* **مبدأ العد الأساسي:** إذا كان بالامكان إجراء عملية بعدد طرق n1، وعملية أخرى بعدد طرق n2، وهكذا، فإن عدد الطرق الكلي لإجراء جميع العمليات هو n1 × n2 × ...
2. **التباديل والتوافيق:**
* **التباديل (Permutations):** عدد طرق ترتيب n من الأشياء المأخوذة r في كل مرة، حيث الترتيب مهم. P(n, r) = n! / (n-r)!.
* **التوافيق (Combinations):** عدد طرق اختيار r من الأشياء من بين n من الأشياء دون اعتبار للترتيب. C(n, r) = n! / (r! * (n-r)!).
3. **نظرية ذات الحدين:**
* **مفكوك (a+b)^n:** الحد العام هو Tr+1 = C(n, r) * a^(n-r) * b^r.
4. **الغاية والاستمرارية:**
* **شروط وجود الغاية:** الغاية من اليمين = الغاية من اليسار. (lim x→a+ f(x) = lim x→a- f(x)).
* **شروط الاستمرارية:** 1) f(a) معرفة. 2) lim x→a f(x) موجودة. 3) lim x→a f(x) = f(a).
5. **الاشتقاق:**
* **مشتقة الدالة الثابتة:** d/dx (c) = 0.
* **مشتقة مجموع/فرق دوال:** d/dx (f(x) ± g(x)) = f'(x) ± g'(x).
* **مشتقة حاصل ضرب دالتين:** d/dx (f(x)g(x)) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x).
* **مشتقة قسمة دالتين:** d/dx (f(x)/g(x)) = (f'(x)g(x) - f(x)g'(x)) / (g(x))^2.
* **القاعدة التسلسلية (Chain Rule):** d/dx (f(g(x))) = f'(g(x)) * g'(x).
6. **تطبيقات الاشتقاق:**
* **نقاط حرجة:** f'(x) = 0 أو f'(x) غير معرفة.
* **مناطق التزايد والتناقص:** تستخدم إشارة المشتقة الأولى.
* **نقاط الانقلاب:** f''(x) = 0 أو f''(x) غير معرفة، مع تغيير إشارة المشتقة الثانية.
7. **التكامل:**
* **التكامل غير المحدد:** ∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C (حيث n ≠ -1).
* **التكامل المحدد:** ∫[a,b] f(x) dx = F(b) - F(a) حيث F'(x) = f(x).
**مثال محلول:**
إذا كان P(n, 2) = 72، جد قيمة n.
**الخطوات:**
1. **كتابة قانون التباديل:** P(n, r) = n! / (n-r)!
2. **تطبيق القانون على المعطى:** P(n, 2) = n! / (n-2)! = 72
3. **تبسيط n!:** يمكن كتابة n! بصيغة n * (n-1) * (n-2)!
4. **التعويض والتبسيط:** (n * (n-1) * (n-2)!) / (n-2)! = 72
n * (n-1) = 72
5. **حل المعادلة التربيعية:**
n^2 - n = 72
n^2 - n - 72 = 0
6. **التحليل إلى عاملين:**
(n - 9)(n + 8) = 0
7. **إيجاد قيم n:**
n - 9 = 0 => n = 9
n + 8 = 0 => n = -8
8. **استبعاد القيمة غير المنطقية:** بما أن n تمثل عدد أشياء، فيجب أن تكون موجبة. إذن، n = 9.
**أخطاء شائعة:**
1. **الخلط بين التباديل والتوافيق:** يجب الانتباه إلى ما إذا كان الترتيب مهماً في السؤال لتحديد استخدام التباديل أو التوافيق.
2. **أخطاء في العمليات الجبرية:** عند فك الأقواس أو حل المعادلات التربيعية، قد تحدث أخطاء في الإشارة أو في الضرب.
3. **نسيان ثابت التكامل (C):** في التكامل غير المحدد، نسيان إضافة الثابت C يؤدي إلى إجابة غير كاملة.
4. **تطبيق خاطئ لقواعد الاشتقاق/التكامل:** خاصة في الدالة المركبة (القاعدة التسلسلية) أو مشتقة حاصل الضرب والقسمة.
5. **عدم التحقق من شروط وجود الغاية أو الاستمرارية:** يجب التأكد من جميع الشروط قبل الحكم على وجود الغاية أو استمرارية الدالة.
**تمرين بيتي:**
جد قيمة x التي تجعل دالة f(x) = (x^2 - 1) / (x - 1) مستمرة عند x = 1، إذا عُلم أن f(1) = 2.
**حل التمرين البيتي:**
لجعل الدالة مستمرة عند x=1، يجب أن تتحقق الشروط الثلاثة للاستمرارية:
1. f(1) معرفة: معطى أن f(1) = 2.
2. lim x→1 f(x) موجودة:
lim x→1 (x^2 - 1) / (x - 1)
لاحظ أنه بالتعويض المباشر نحصل على 0/0، وهي صيغة غير معرفة، لذلك يجب تبسيط الدالة.
lim x→1 (x - 1)(x + 1) / (x - 1)
lim x→1 (x + 1) = 1 + 1 = 2
3. lim x→1 f(x) = f(1):
وجدنا أن lim x→1 f(x) = 2، ومعطى أن f(1) = 2.
بما أن 2 = 2، فإن الدالة مستمرة عند x=1 بناءً على الشرط المعطى. لا توجد قيمة لـ x لإيجادها هنا لأن السؤال يطلب قيمة x التي تجعل الدالة مستمرة، وقد أُشير ضمنياً إلى أن x=1 هي النقطة المراد فحص استمراريتها.
**ملاحظة:** صياغة السؤال كانت لغاية اختبار الفهم، والدالة معرفة بشكل يسمح باستمراريتها عند x=1 إذا تم تعريف f(1)=2. لا توجد قيمة x أخرى يجب إيجادها غير النقطة المعطاة.
(كان الأجدر صياغة السؤال: 'اثبت أن الدالة f(x) = (x^2 - 1) / (x - 1) يمكن أن تكون مستمرة عند x = 1 إذا عُرفنا f(1) = 2')
الحل الصحيح هو أن الغاية تساوي 2، وبما أن f(1) = 2، فالدالة مستمرة عند x=1.